ОТ ВЫБОРКИ — К ВЫВОДУ
Точечные оценки параметров распределения
Как превратить наблюдения
в обоснованную оценку
Много наблюдений. Одна оценка.
Петрова Светлана Михайловна
От расчёта показателей
к осмысленной оценке
Разбираем вместе
Короткая теория чередуется с пошаговыми примерами.
Свойства оценок
Методы оценивания
Решаете самостоятельно
Рассчитываете оценки и объясняете, что они говорят о данных.
Ответы и выводы —
в конце презентации
Вы сможете выбрать оценку, вычислить её и интерпретировать результат в социальной работе.
Выборка помогает оценить
неизвестный параметр
Числовая характеристика распределения в генеральной совокупности.
ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА θ̂Функция выборки, которая даёт одно число для оценки параметра.
Сколько дней ждут помощи?
Наблюдаемые сроки ожидания:
Среднее по выборке — оценка среднего срока ожидания в совокупности.
До наблюдения выборки оценка — случайная величина. После расчёта её значение — конкретное число.
Качество оценки начинается с качества выборки
Что наблюдаем?
Срок ожидания помощи в днях у случайно выбранных получателей за один период.
Объём выборки n — число наблюдений.
Что проверяем?
Одинаковые единицы и правила учёта.
Представлены ли разные группы получателей?
Нет ли повторного учёта одного человека?
Большая выборка сама по себе не исправляет систематический перекос отбора.
Среднее использует каждое наблюдение
Сложите значения и разделите сумму на объём выборки.
Для независимых одинаково распределённых наблюдений E(X)=μ.
Сумма: 40 дней. Объём: 5.
Выборочное среднее оценивает μ — математическое ожидание распределения.
Среднее пяти измерений равно 100 мм
Длины стержня по пяти измерениям:
Найдём среднюю длину.
Два шага
1. Сумма: 92 + 94 + 103 + 105 + 106 = 500.
2. Разделим на n = 5.
Среднее сохраняет единицы исходного признака; данные задачи № 457, издание 2004 года.
Частоты задают вес каждого значения
| xᵢ | 2 | 5 | 7 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| nᵢ | 16 | 12 | 8 | 14 |
Объём: 16 + 12 + 8 + 14 = 50.
Взвешенная сумма
16·2 + 12·5 + 8·7 + 14·10 = 288.
Без частот результат был бы неверным.
Каждое значение учитывается столько раз, сколько оно встретилось в выборке.
Медиана делит упорядоченную выборку пополам
Сначала расположите значения по возрастанию.
Нечётное n
Возьмите значение на позиции (n + 1) / 2.
Чётное n
Усредните два центральных значения.
Me = 6.
Me = (4 + 6) / 2 = 5.
Медиана описывает положение центра и менее чувствительна к величине крайних наблюдений.
Одно крайнее значение заметно меняет среднее
Среднее = 4; медиана = 4.
Среднее = 10; медиана = 4.
Как читать результат?
Среднее учитывает длительное ожидание одного человека.
Медиана отражает центральное положение большинства наблюдений.
При асимметрии полезно приводить обе характеристики: они отвечают на разные вопросы.
Мода показывает наиболее частое значение
Mo — значение с максимальной частотой.
Мода равна 2.
Для категорий можно найти наиболее частый вид обращения.
Мода не всегда единственна
Две моды: 1 и 2.
Единственного лидера по частоте нет.
Мода, медиана и размах — описательные характеристики; роль параметра зависит от модели.
Размах использует только крайние наблюдения
Единицы размаха совпадают с единицами признака.
Внутренние значения не участвуют в расчёте.
R = 6 − 2 = 4 дня.
R = 36 − 2 = 34 дня.
Размах быстро показывает ширину данных, но сильно зависит от крайних значений.
Дисперсия измеряет разброс относительно среднего
Отклонения возводятся в квадрат, поэтому не взаимоуничтожаются.
Вычислите среднее, отклонения, квадраты и их сумму.
Единицы и смысл
Для данных в днях дисперсия выражается в днях².
Корень возвращает исходные единицы. Это ещё не гарантирует несмещённость.
При одинаковом центре большая дисперсия означает больший разброс наблюдений.
Сумма квадратов отклонений равна 170
Для измерений 92, 94, 103, 105, 106 среднее x̄ = 100 мм.
| xᵢ − x̄ | −8 | −6 | 3 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Квадрат | 64 | 36 | 9 | 25 | 36 |
1. Сумма квадратов:
2. Делим на пять наблюдений:
Квадраты учитывают и положительные, и отрицательные отклонения от среднего.
Делитель n−1 устраняет смещение дисперсии
Нужно n > 1. При независимой одинаково распределённой выборке E(s²)=σ².
n = 5; сумма квадратов = 170.
Dᵥ = 34 мм², а s² = 42,5 мм².
Сумма отклонений от выборочного среднего равна нулю: остаётся n−1 степень свободы.
Несмещённость — отсутствие систематического сдвига
Свойство относится к повторным случайным выборкам, а не к одному расчёту.
Предполагаем независимые одинаково распределённые наблюдения с конечной дисперсией.
| Оценка | Ожидание |
|---|---|
| X̄ | μ |
| Dᵥ | (n−1)σ² / n |
| s² | σ² |
Dᵥ в среднем занижает σ².
Несмещённая оценка может отличаться от параметра в конкретной выборке.
Состоятельная оценка приближается к параметру
Для любого ε > 0 при n → ∞ вероятность большой ошибки стремится к нулю.
Это не обещание точного результата при каждом увеличении n.
Пример: среднее
При конечной σ² и независимых одинаково распределённых наблюдениях:
Несмещённость и состоятельность — разные свойства: первое о сдвиге, второе о росте выборки.
Эффективность сравнивает точность оценок
В классе несмещённых оценок одного параметра эффективна оценка с наименьшей дисперсией.
Сравнение проводят при одной модели и одинаковом объёме выборки.
Среднее достигает нижней границы Крамера — Рао для оценки μ.
В этой модели X̄ эффективно.
Нельзя объявить оценку эффективной без указания модели и класса сравнения.
Метод моментов связывает модель с выборкой
Три шага
1. Выразите моменты через параметры.
2. Приравняйте их выборочным моментам.
3. Решите уравнения.
Для двух параметров обычно нужны два уравнения.
Модель распределения должна быть задана заранее.
Метод моментов оценивает параметры выбранной модели, а не выбирает саму модель.
Для распределения Пуассона λ оценивается средним
Пусть X₁, …, Xₙ — независимые наблюдения из Poisson(λ), λ > 0.
Приравниваем первый момент среднему выборки.
Число обращений за равные периоды: 1, 2, 0, 3, 4.
Оценка равна двум обращениям за период; применимость модели Пуассона нужно обосновать.
ММП ищет параметр, лучше согласующийся с данными
Наблюдённые данные фиксированы; меняется параметр θ.
Для дискретных данных вместо плотностей берутся вероятности.
Удобно максимизировать ln L.
Ищем критические точки и проверяем максимум, границы и допустимость параметров.
Для непрерывной модели правдоподобие — произведение плотностей, а не вероятность точной выборки.
Для Бернулли ММП равен доле успехов
n независимых испытаний; k успехов; вероятность успеха p.
ln L = k ln p + (n−k) ln(1−p).
При 0 < k < n вторая производная отрицательна: найден максимум.
При k = 0 или n максимум на границе: p̂ = 0 или 1.
Например, 12 успехов из 20: p̂ = 0,6.
Это частный случай биномиальной задачи № 489; числовой пример добавлен для занятия.
Оценка помогает описать работу службы
| Вопрос | Показатель |
|---|---|
| Средняя нагрузка | x̄ |
| Центр сроков ожидания | Медиана |
| Частый вид обращения | Мода |
| Неоднородность сроков | s² |
От числа к выводу
Доля получивших помощь: p̂ = k/n.
Разброс помогает выявить неоднородность обслуживания.
Укажите период, единицы, выборку и ограничения отбора.
Точечная оценка не показывает неопределённость и не доказывает причинную связь.
За 30 минут рассчитайте оценки и сделайте выводы
Задание 1: характеристики центра и размах.
Задание 2: две дисперсии.
Задание 3: методы и свойства оценок.
Как оформить ответ
Формула → подстановка → результат → вывод.
Можно использовать калькулятор.
Оцениваем правильность вычислений, единицы и интерпретацию.
Выполните все три задания до просмотра ответов. Ответы начинаются со слайда 27.
Опишите центр выборки и её размах
Наблюдения приведены в порядке возрастания.
Размер выборки n = 6.
Найдите
Выборочное среднее.
Медиану и моду.
Размах.
Объясните различие среднего и медианы одним предложением.
Это авторское учебное задание в социальном контексте; единицы ответа — дни.
Сравните выборочную и исправленную дисперсии
Результаты четырёх измерений:
Найдите среднее и сумму квадратов отклонений.
Вычислите
Какая оценка несмещённо оценивает генеральную дисперсию?
Дисперсии выразите в квадрате единиц измерения. Не округляйте промежуточные результаты.
Найдите параметры и различите свойства оценок
Число испытаний до первого успеха:
Геометрическая модель: E(X)=1/p.
Найдите p методом моментов.
Ещё два вопроса
В 10 испытаниях Бернулли — 7 успехов. Найдите p методом ММП.
Какое свойство означает отсутствие сдвига, а какое — приближение при росте n?
Последние два вопроса — авторские. Запишите уравнение метода моментов и короткие пояснения.
Среднее равно 4 дням, медиана — 3,5 дня
| Характеристика | Ответ |
|---|---|
| Среднее | 24 / 6 = 4 дня |
| Медиана | (3 + 4) / 2 = 3,5 дня |
| Мода | 3 дня |
| Размах | 7 − 2 = 5 дней |
Вывод
Значения 5 и 7 сдвигают среднее выше медианы.
Самое частое ожидание — 3 дня.
По шести наблюдениям нельзя описать всех получателей помощи без условий отбора.
Разные характеристики центра дополняют друг друга; размах описывает крайние значения.
Исправленная дисперсия равна 10/3
Квадраты отклонений: 4, 1, 1, 4.
Единицы дисперсии — квадрат единиц исходного признака.
Исправленная дисперсия больше в 4/3 раза.
При стандартных предпосылках s² несмещённа.
Поправка меняет делитель, а не данные и не среднее. Для оценки σ² выбираем s².
Метод моментов даёт 0,2, ММП — 0,7
Вероятность успеха за одно испытание оценивается как 0,2.
Несмещённость — отсутствие систематического сдвига.
Состоятельность — приближение по вероятности при росте выборки.
Это две разные модели и две разные выборки: результаты не должны совпадать.
Обоснованная оценка требует данных и модели
Среднее, медиана и мода описывают центр; размах и дисперсия — разброс.
Для несмещённой оценки σ² используйте s².
Различайте несмещённость, состоятельность и эффективность.
Социальные примеры — авторские. Указывайте ограничения выводов.
Основной источник
Гмурман В. Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике». Высшая школа, 2004.
Глава X: № 450, 457, 458, 471, 479, 489.
Петрова Светлана Михайловна · Точечная оценка — одно число, а качество вывода зависит от предпосылок.